Порядок расчёта удельных параметров моделей трёхфазных ЛЭП

 В данном разделе приводится описание порядка расчёта удельных (погонных) параметров схем замещения трёхфазных ЛЭП. Раздел состоит из двух частей:

• в первой части описывается порядок расчёта параметров ЛЭП в фазных координатах;

• во второй – в симметричных составляющих.

1.  Параметры схемы замещения ЛЭП в фазных координатах

 В ходе расчёта параметров схемы замещения ЛЭП в фазных координатах необходимо определить собственные (диагональные элементы матрицы) и взаимные (недиагональные элементы матрицы) погонные параметры линии. Результатом расчёта параметров ЛЭП являются матрицы активного сопротивления \(r\), индуктивности \(l\), ёмкости \(c\) и активной проводимости \(g\) размерностью 3х3, структура полученных матриц на примере матрицы \(r\) приведена в формуле (1):

(1)\[\begin{split}r=\begin{pmatrix} r_{aa} & r_{ab} & r_{ac}\\ r_{ba} & r_{bb} & r_{bc} \\ r_{ca} & r_{cb} & r_{cc} \\ \end{pmatrix},\end{split}\]

где:

 \(r_{aa},r_{bb},r_{cc}\) – собственные активные сопротивления фазы A, B и C соответственно;

 \(r_{ab},r_{bc},r_{ca}\) – взаимные активные сопротивления фаз A и B, B и C, C и A соответственно.

Примечание

Недиагональные элементы матрицы должны быть попарно равны, так как относятся к одним и тем же фазам: \(r_{ab} = r_{ba}, r_{bc} = r_{cb}, r_{ca} = r_{ac}\). Диагональные элементы матрицы могут различаться. Таким образом, для составления каждой матрицы достаточно рассчитать 3 диагональных элемента и 3 недиагональных элемента для каждой пары фаз.

1.1.  Расчёт матриц активного сопротивления r и индуктивности l

 Формулы для определения параметров матриц активного сопротивления \(r\) и индуктивности \(l\) с учётом контура возврата тока через землю приведены в таблице 1.

Примечание

Для расчёта параметров матрицы продольного сопротивления ЛЭП, как правило, применяют различные модификации формул Карсона [1]. В таблице 1 приведены формулы из [2], также можно воспользоваться формулами из [3] (выведены для \(f\) = 60 [Гц] в [Ом/миля], для использования в СИ необходим пересчёт коэффициентов).

Таблица 1

Параметр	Расчётная формула
Собственное активное сопротивление проводника \(r_{ii}\), [Ом/км]	\(r_{ii}=r_п+r_з=r_п+ \pi^2 \cdot f \cdot 10^{-4}\)
Взаимное активное сопротивление проводника \(r_{ij}\), [Ом/км]	\(r_{ij}=r_з=\pi^2 \cdot f \cdot 10^{-4}\)
Собственная индуктивность проводника \(l_{ii}\), [Гн/км]	\(l_{ii}=\frac{\mu_0}{2 \cdot \pi}\cdot ln \frac{D_з}{\rho_{э\hspace{1mm}п}}\)
Взаимная индуктивность проводника \(l_{ij}\), [Гн/км]	\(l_{ij}=\frac{\mu_0}{2 \cdot \pi}\cdot ln \frac{D_з}{d_{ij}}\)

 В таблице 1 приведены следующие обозначения:

 \(r_п\) – активное сопротивление фазы, [Ом/км];

 \(r_з\) – активное сопротивление, учитывающее потери активной мощности в земле от протекающего в ней тока, [Ом/км];

 \(f\) – частота сети, [Гц];

 \(\mu_0=4 \cdot \pi \cdot 10^{-4}\) [Гн/км] – магнитная постоянная;

 \(\rho_{э\hspace{1mm}п}=k \cdot \rho_п\) – эквивалентный радиус провода с учётом поверхностного эффекта, [м];

 \(k\) – коэффициент, учитывающий поверхностный эффект в проводнике: для проводов из немагнитного материала \(k\) = 0.779, для сталеалюминевых проводов \(k\) = 0.95 [4] [5] [6].

Примечание

В англоязычной литературе используется величина \(GMR=\rho_п \cdot e^{-\frac{\mu_п}{4}}\)– среднегеометрический радиус провода. При его расчёте также учитывается поверхностный эффект за счёт величины относительной магнитной проницаемости материала провода \(\mu_п\), которая для цветных металлов (медь, алюминий) принимается равной 1. Стоит отметить, что приведённая формула справедлива для однородных проводов. Для сталеалюминевых проводов GMR можно найти в справочной литературе, например, в [3]\(^{Appendix A}\).

 \(d_{ij}=\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2}\) – расстояние между i-ым проводником и j-ым проводником, [м] (см. рис. 1);

 \(D_з=\frac{66.4}{\sqrt{f \cdot \lambda}}\) – эквивалентная глубина расположения обратного провода в земле, [м];

 \(\lambda\) – удельная проводимость земли, [1/(Ом·см)].

Важно

При расчёте необходимо использовать указанные единицы измерения \(\lambda\).

Примечание

В качестве средней проводимости земли (влажная земля) в расчётах можно принять \(\lambda=10^{-4}\) [1/(Ом·см)]. В приближённых расчетах при \(f\) = 50 [Гц] можно в таком случае принять \(D_з\) = 1000 [м].

Рис. 1 Определение расстояния между проводниками и их изображениями

1.2.  Расчёт матриц ёмкостей c и активных проводимостей g

 Согласно [3], параметры матрицы ёмкостей c можно определить через обратную матрицу потенциальных коэффициентов \(p\) по формуле (2):

(2)\[[c_{abc}]=[p_{abc}]^{-1}\]

где:

 \(p_{abc}=\begin{pmatrix} p_{aa} & p_{ab} & p_{ac}\\ p_{ba} & p_{bb} & p_{bc} \\ p_{ca} & p_{cb} & p_{cc} \\ \end{pmatrix}\) – матрица потенциальных коэффициентов;

 \(p_{ii}=\frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \epsilon}\cdot ln \frac{2 \cdot y_i}{\rho_{э\hspace{1mm}п}}\) – собственные потенциальные коэффициенты;

 \(p_{ii}=\frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \epsilon}\cdot ln \frac{S_{ij}}{d_{ij}}\) – взаимные потенциальные коэффициенты;

 \(y_i=\frac{2 \cdot y_{imin}+y_{imax}}{3}\) – средняя высота подвеса i-го проводника, [м] (см. рис. 2);

 \(y_{imax}\) – расстояние от точки крепления i-го проводника на опоре до земли, [м];

 \(y_{imin}\) – минимальное расстояние от i-го проводника до земли с учётом стрелы подвеса, [м];

 \(S_{ij}=\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i+y_j)^2}\) – расстояние между i-ым проводником и изображением j-ого проводника, [м] (см. рис. 1);

 \(\epsilon=\epsilon_r \cdot \epsilon_0\) – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;

 \(\epsilon_r\) – относительная диэлектрическая проницаемость среды (для воздуха \(\epsilon_r\)=1);

 \(\epsilon_r=8.85 \cdot 10^{-9}\) [Ф/км] – электрическая постоянная.

Рис. 2 Расположение проводов ЛЭП на опоре
а) определение координат проводов;
б) расчёт средней высоты подвеса i-го проводника \(y_i\)

Примечание

На рис. 2 координата \(x_1\) для провода \(П_1\) будет отрицательной.

Важно

Результатом вычисления выражения (2) будет матрица ёмкостей следующего вида (3):

(3)\[\begin{split}c_{abc}=\begin{pmatrix} c_{aa} & -c_{ab} & -c_{ac}\\ -c_{ba} & c_{bb} & -c_{bc} \\ -c_{ca} & -c_{cb} & c_{cc} \\ \end{pmatrix},\end{split}\]

т.е. недиагональные элементы матрицы будут отрицательными. Именно в таком виде требуется задавать параметры в блоке Трёхфазная линия электропередачи (многосекционная). При вычислении параметров матрицы любым другим способом необходимо задавать в блоке матрицу, указанного вида, с отрицательными недиагональными элементами.

Примечание

При использовании расщеплённых проводов в фазе расчёты для \(r_{ii}, l_{ii}\hspace{1mm} и \hspace{1mm} p_{ii}\) необходимо скорректировать. Так, если фаза состоит из n одинаковых проводов, то активное сопротивление фазы: \(r_п=\frac{r_п^{`}}{n}\), где \(r_п^{`}\) – сопротивление одного провода. С увеличением n увеличивается эквивалентный радиус расщепления конструкции фазы: \(\rho_{э \hspace{1mm} п}=\sqrt[n]{k \cdot \rho_п \cdot a^{n-1}}\), где \(a\) – среднегеометрическое расстояние между проводами одной фазы. Согласно [7], для упрощённых расчётов можно принять \(a\) = (40 – 60) [см]. Подробная методика расчёта \(a\) для учёта действительных расстояний между проводами расщеплённой фазы приведена в [3]\(^{гл. 2-5}\).

 Учёт активной проводимости \(g\) в общем случае зависит от класса напряжения моделируемой ЛЭП [7] – как правило, потери на коронирование учитывают для линий классом напряжения 330 [кВ] и выше. Для ВЛ 110 [кВ] и 220 [кВ] допускается не учитывать \(g\), если диаметр провода линии равен или превышает минимально уставленный для снижения потерь на корону (для ВЛ 110 [кВ] – АС-70 (11.8 [мм]), для ВЛ 220 [кВ] – АС-240 (21.6 [мм])).

 Подробный расчет активной проводимости является нетривиальной задачей, поскольку процессы коронирования сильно зависят от напряжения ВЛ, атмосферных условий и состояния поверхности провода. Методика таких расчетов приведена, например, в [8]. Если же при моделировании ЛЭП нет необходимости в подробном учете потерь на корону, в расчетах можно учитывать только собственные проводимости фаз на землю. Тогда матрица \(g\) примет вид (4):

(4)\[\begin{split}g_{abc}=\begin{pmatrix} g_{aa} & 0 & 0\\ 0 & g_{bb} & 0 \\ 0 & 0 & g_{cc} \\ \end{pmatrix},\end{split}\]

где:

 \(g_{ii}= \frac{\Delta P_ф}{U_{ном}^2}\cdot 10^{-3}\) – удельная активная проводимость фазы на землю, [См/км];

 \(U_{ном}\) – номинальное фазное напряжение, [кВ];

 \(\Delta P_ф\) – удельные потери мощности на коронирование для одной фазы, как правило, приведены в справочных данных (например, в [9]\(^{таблица\hspace{1mm} 3.10}\)), [кВт/км].

2.  Параметры схемы замещения ЛЭП в симметричных координатах

 В ходе расчёта параметров схемы замещения ЛЭП в симметричных координатах необходимо определить параметры прямой и нулевой последовательностей линии. Результатом расчёта являются активные сопротивления \(r_1\) и \(r_0\), индуктивности \(l_1\) и \(l_0\) и ёмкости \(c_1\) и \(c_0\).

 Эти параметры, как правило, можно найти в справочной литературе, например, в [4]. Однако если нужен более точный расчёт, параметры прямой и нулевой последовательностей можно вычислить из рассчитанных в п. 1 матриц \(r\), \(l\), и \(c\).

 Согласно [3], зная параметры схемы замещения ЛЭП в фазных координатах, можно определить значения параметров в симметричных координатах по формуле (5):

(5)\[\begin{split}z_{012}=A^{-1} \cdot z_{abc \hspace{1mm} T}\cdot A =\begin{pmatrix} r_{00}+ j\cdot \omega \cdot l_{00} & r_{01}+ j\cdot \omega \cdot l_{01} & r_{02}+ j\cdot \omega \cdot l_{02}\\ r_{10}+ j\cdot \omega \cdot l_{10} & r_{11}+ j\cdot \omega \cdot l_{11} & r_{12}+ j\cdot \omega \cdot l_{12} \\ r_{20}+ j\cdot \omega \cdot l_{20} & r_{21}+ j\cdot \omega \cdot l_{21} & r_{22}+ j\cdot \omega \cdot l_{22} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} z_{00} & z_{01} & z_{02}\\ z_{10} & z_{11} & z_{12} \\ z_{20} & z_{21} & z_{22} \\ \end{pmatrix},\end{split}\]

где:

 \(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \\ \end{pmatrix}\) – матрица перевода трёхфазной системы в симметричную, \(a=e^{j \cdot \frac{2 \cdot \pi}{3}}=-0.5 + j \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\) – оператор трёхфазной системы;

 \(A^{-1}=\frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \\ \end{pmatrix}\) – матрица, обратная матрице A;

 \(z_{abc}=\begin{pmatrix} r_{aa}+ j\cdot \omega \cdot l_{aa} & r_{ab}+ j\cdot \omega \cdot l_{ab} & r_{ac}+ j\cdot \omega \cdot l_{ac}\\ r_{ba}+ j\cdot \omega \cdot l_{ba} & r_{bb}+ j\cdot \omega \cdot l_{bb} & r_{bc}+ j\cdot \omega \cdot l_{bc} \\ r_{ca}+ j\cdot \omega \cdot l_{ca} & r_{cb}+ j\cdot \omega \cdot l_{cb} & r_{cc}+ j\cdot \omega \cdot l_{cc} \\ \end{pmatrix}\) – матрица продольных сопротивлений в фазных координатах, \(\omega = 2 \cdot \pi \cdot f\) – угловая частота, [рад/с].

 Для матрицы поперечных проводимостей \(y_{abc}=\begin{pmatrix} j\cdot \omega \cdot c_{aa} & j\cdot \omega \cdot c_{ab} & j\cdot \omega \cdot c_{ac}\\ j\cdot \omega \cdot c_{ba} & j\cdot \omega \cdot c_{bb} & j\cdot \omega \cdot c_{bc} \\ j\cdot \omega \cdot c_{ca} & j\cdot \omega \cdot c_{cb} & j\cdot \omega \cdot c_{cc} \\ \end{pmatrix}\) параметры в симметричных координатах определяются также по формуле (5).

 Недиагональные элементы в формуле (5) представляют собой взаимную связь между последовательностями. Если по результатам расчётов \(z_{01} = z_{02} = z_{12}\) = 0, то в качестве сопротивления нулевой последовательности принимается \(z_{00}\), прямой последовательности – \(z_{11}\).

 Если же по результатам расчёта матрица \(z_{012}\) имеет ненулевые недиагональные элементы, их необходимо учитывать при задании параметров. Однако в случае транспонированной линии взаимные сопротивления между фазами усредняются и становятся одинаковыми. Тогда исходную матрицу \(z_{abc}\) можно переписать в упрощённом виде с равными собственными сопротивлениями и равными взаимными сопротивлениями (6):

(6)\[\begin{split}z_{abc \hspace{1mm}T}=\begin{pmatrix} r_с+ j\cdot \omega \cdot l_с & r_{вз}+ j\cdot \omega \cdot l_{вз} & r_{вз}+ j\cdot \omega \cdot l_{вз}\\ r_{вз}+ j\cdot \omega \cdot l_{вз} & r_с+ j\cdot \omega \cdot l_с & r_{вз}+ j\cdot \omega \cdot l_{вз} \\ r_{вз}+ j\cdot \omega \cdot l_{вз} & r_{вз}+ j\cdot \omega \cdot l_{вз} & r_с+ j\cdot \omega \cdot l_с \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} z_с & z_{вз} & z_{вз}\\ z_{вз} & z_с & z_{вз} \\ z_{вз} & z_{вз} & z_с \\ \end{pmatrix},\end{split}\]

где:

 \(z_с=\frac{z_{aa}+z_{bb}+z_{cc}}{3}\) – усреднённое собственное сопротивление;

 \(z_{вз}=\frac{z_{ab}+z_{bc}+z_{ca}}{3}\) – усреднённое взаимное сопротивление.

 Применив к матрице из формулы (6) вычисления по формуле (5), получим диагональную матрицу параметров в симметричных координатах (7):

(7)\[\begin{split}z_{012 \hspace{1mm}T}=\begin{pmatrix} z_{00} & 0 & 0\\ 0 & z_{11} & 0 \\ 0 & 0 & z_{22} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} z_с + 2 \cdot z_{вз} & 0 & 0\\ 0 & z_с - z_{вз} & 0 \\ 0 & 0 & z_с - z_{вз}\\ \end{pmatrix},\end{split}\]

Подсказка

Как видно из формулы (7), в случае транспонированной линии можно определить сопротивление нулевой и прямой последовательности не прибегая к матричным вычислениям.

Важно

Формулы (6)- (7) и логика расчёта применимы также для матрицы \(y_{abc}\).

3.  Источники

---

[1]

Carson J. R. Wave propagation in overhead wires with ground return // The Bell System Technical Journal. 1926. Vol. 5, № 4. P. 539–554. DOI: 10.1002/j.1538-7305.1926.tb00122.x.

[2]

Bergen A. R., Vittal V. Power systems analysis. 2nd ed. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall, 2000. 619 p.

[3] (1,2,3,4,5)

Kersting, W.H. (2012). Distribution System Modeling and Analysis (3rd ed.). CRC Press. https://doi.org/10.1201/b11697.

[4] (1,2)

Руководящие указания по релейной защите. Выпуск 11. Расчеты токов короткого замыкания для релейной защиты и системной автоматики в сетях 110 – 750 кВ. – М.: Энергия, 1979. – 152 с. ил.

[5]

Ульянов С.А. Электромагнитные переходные процессы в электрических системах. Учебник для электротехниче­ских и энергетических вузов и факультетов. – М.: Энергия, 1970.

[6]

Мельников Н.А. Электрические сети и системы. – М.: Энергия, 1969. – 456 с. ил.

[7] (1,2)

Герасименко А.А., Федин В.Т. Передача и распределение электрической энергии / Герасименко А.А., Федин В.Т. – Изд. 2-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2008. – 715 с. – (Высшее образование).

[8]

РД 34.20.172-74 Руководящие указания по учету потерь на корону и помех от короны при выборе проводов воздушных линий электропередачи переменного тока 330 - 750 кВ и постоянного тока 800 - 1500 кВ. – М., 2009. – 74 с.

[9]

Справочник по проектированию электрических сетей / под ред. Д. Л. Файбисовича. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: ЭНАС, 2012. – 376 с.: ил.