Порядок расчёта параметров моделей трансформаторов

Данный раздел посвящен описанию порядка расчёта параметров схем замещения различных трансформаторов. Он состоит из двух частей, описывающих порядок расчёта в относительных единицах и порядок определения параметров модели на основании каталожных данных.

1.  Параметры схемы замещения на основании относительных единиц

1.1.  Однофазные трансформаторы

Базисные сопротивления и индуктивности (1):

\[R_{б1}=\frac{U_{1ном}^2}{S_{ном}}, L_{б1}=\frac {R_{б1}}{2\cdot п\cdot f_{ном}} \]

\[R_{б2}=\frac{U_{2ном}^2}{S_{ном}}, L_{б2}=\frac {R_{б2}}{2\cdot п\cdot f_{ном}} \]

(1)\[R_{б3}=\frac{U_{3ном}^2}{S_{ном}}, L_{б3}=\frac {R_{б3}}{2\cdot п\cdot f_{ном}} \]

Таким образом, параметры обмоток будут равны (2):

\[R_1=R_{1,о.е.}\cdot R_{б1}, L_1=L_{1,о.е.}\cdot L_{б1}\]

\[R_2=R_{2,о.е.}\cdot R_{б2}, L_2=L_{2,о.е.}\cdot L_{б2}\]

(2)\[R_3=R_{3,о.е.}\cdot R_{б3}, L_3=L_{3,о.е.}\cdot L_{б3}\]

Параметры ветви намагничивания (3):

(3)\[R_m=R_{m,о.е.}\cdot R_{б1}, L_m=L_{m,о.е.}\cdot L_{б1}\]

1.2.  Трёхфазные трансформаторы

Трёхфазный трансформатор представляет собой соединение трёх однофазных трансформаторов, коэффициент трансформации каждого из которых определяется как отношение номинального вторичного фазного напряжения трансформатора к первичному фазному (4):

(4)\[K=\frac{U_{2номф}}{U_{1номф}}\]

Но, если обмотки трансформатора соединены по-разному, то номинальное напряжение одной из них может стать линейным, а другой фазным. Для учёта таких случаев необходимо вносить корректировки в расчёт коэффициента трансформации. Примеры таких корректировок представлены в таблице ниже. Под номинальными напряжениями в случае трёхфазных трансформаторов понимаются линейные, а не фазные.

Способ соединения обмоток	Коэффициент трансформации
Звезда-Звезда	K=\(\frac{U_{2ном Ф}}{U_{1ном Ф}}\)=\(\frac{U_{2ном}}{\sqrt {3}}\cdot \frac{\sqrt {3}}{U_{1ном}}=\frac{U_{2ном}}{U_{1ном}}\)
Звезда-Треугольник I	K=\(\frac{U_{2ном Ф}}{U_{1ном Ф}}\)=\(\frac{U_{2ном}}{\sqrt {3}}\cdot \frac{1}{U_{1ном}}=\frac{U_{2ном}}{\sqrt {3} \cdot U_{1ном}}\)
Треугольник I-Звезда	K=\(\frac{U_{2ном Ф}}{U_{1ном Ф}}\)=\(\frac{U_{2ном}}{1}\cdot \frac{\sqrt {3}}{U_{1ном}}=\frac{\sqrt {3}\cdot U_{2ном}}{U_{1ном}};\)
Треугольник I-Треугольник II	K=\(\frac{U_{2ном Ф}}{U_{1ном Ф}}\)=\(\frac{U_{2ном}}{U_{1ном}}\)

Базисные сопротивления и индуктивности обмоток каждой фазы (1 - обмотка высшего напряжения, 2 - обмотка среднего напряжения, 3 - обмотка низшего напряжения) (5):

\[R_{б1}=\frac{U_{1номф}^2}{S_{номф}}=\frac{U_{1ном}^2}{(\sqrt {3})^2}\cdot \frac{3}{S_{ном}}=\frac{U_{1ном}^2}{S_{ном}}, L_{б1}=\frac {R_{б1}}{2\cdot п\cdot f_{ном}} \]

\[R_{б2}=\frac{U_{2номф}^2}{S_{номф}}=\frac{U_{2ном}^2}{(\sqrt {3})^2}\cdot \frac{3}{S_{ном}}=\frac{U_{2ном}^2}{S_{ном}}, L_{б2}=\frac {R_{б2}}{2\cdot п\cdot f_{ном}} \]

(5)\[R_{б3}=\frac{U_{3номф}^2}{S_{номф}}=\frac{U_{3ном}^2}{(\sqrt {3})^2}\cdot \frac{3}{S_{ном}}=\frac{U_{3ном}^2}{S_{ном}}, L_{б3}=\frac {R_{б3}}{2\cdot п\cdot f_{ном}} \]

Таким образом, параметры обмоток будут равны (6):

\[R_1=R_{1,о.е.}\cdot R_{б1}, L_1=L_{1,о.е.}\cdot L_{б1}\]

\[R_2=R_{2,о.е.}\cdot R_{б2}, L_2=L_{2,о.е.}\cdot L_{б2}\]

(6)\[R_3=R_{3,о.е.}\cdot R_{б3}, L_3=L_{3,о.е.}\cdot L_{б3}\]

Параметры ветви намагничивания (7):

(7)\[R_m=R_{m,о.е.}\cdot R_{б1}, L_m=L_{m,о.е.}\cdot L_{б1}\]

2.  Параметры схемы замещения на основании каталожных данных

Конечной целью такого расчёта является получение значений в относительных единицах, которые затем будут переведены в именованные посредством умножения на соответствующую базисную величину. Порядок перевода основывается на методике.[1]

В качестве базисной мощности принимается номинальная мощность трансформатора S\(_{ном}\), ВА, в качестве базисных напряжений обмоток принимаются их номинальные фазные (в случае однофазного трансформатора) или линейные (в случае трёхфазного трансформатора) напряжения U\(_{1ном}\), U\(_{2ном}\), U\(_{3ном}\), В. Цифра 1 в обозначениях соответствует первичной обмотке, 2 вторичной, а 3 третичной.

Обозначения параметров, соответствующих каталожным данным трансформаторов, и их единицы измерения принимаемые при расчёте, приведены в таблице ниже:

Каталожный параметр	Единица измерения	Обозначение
Потери мощности в опыте холостого хода	Вт	\(\Delta\)P\(_X\)
Ток в опыте холостого хода	%	I\(_0\)
Напряжение в опыте короткого замыкания	%	U\(_K\)
Напряжение в опыте короткого замыкания при закороченных обмотках высшего и среднего напряжения	%	U\(_{K,B-C}\)
Напряжение в опыте короткого замыкания при закороченных обмотках высшего и низшего напряжения	%	U\(_{K,B-H}\)
Напряжение в опыте короткого замыкания при закороченных обмотках среднего и низшего напряжения	%	U\(_{K,C-H}\)
Потери мощности в опыте короткого замыкания	Вт	\(\Delta\)P\(_K\)
Потери мощности в опыте короткого замыкания при закороченных обмотках высшего и среднего напряжения	Вт	\(\Delta\)P\(_{K,B-C}\)
Потери мощности в опыте короткого замыкания при закороченных обмотках высшего и низшего напряжения	Вт	\(\Delta\)P\(_{K,B-H}\)
Потери мощности в опыте короткого замыкания при закороченных обмотках среднего и низшего напряжения	Вт	\(\Delta\)P\(_{K,C-H}\)

2.1.  Однофазные трансформаторы

Коэффициент трансформации (8):

(8)\[K=\frac{U_{2ном}}{U_{1ном}}\]

Базисные сопротивления и индуктивности (9):

\[R_{б1}=\frac{U_{1ном}^2}{S_{ном}}, L_{б1}=\frac {R_{б1}}{2\cdot п\cdot f_{ном}} \]

\[R_{б2}=\frac{U_{2ном}^2}{S_{ном}}, L_{б2}=\frac {R_{б2}}{2\cdot п\cdot f_{ном}} \]

(9)\[R_{б3}=\frac{U_{3ном}^2}{S_{ном}}, L_{б3}=\frac {R_{б3}}{2\cdot п\cdot f_{ном}} \]

Формулы для расчёта параметров моделей двухобмоточных и трёхобмоточных трансформаторов приведены в таблице ниже. Они основаны на [1][2]

Двухобмоточный трансформатор

Трёхобмоточный трансформатор

Сопротивления: R\(_{1,о.е.}\)=R\(_{2,о.е.}\)=0.5\( \cdot\frac{\Delta P_{K}}{S_{ном}}\) R\(_1\)=R\(_{1,о.е.}\cdot R_{б1}\), R\(_2\)=R\(_{2,о.е.}\cdot R_{б2} \) Индуктивности: L\(_{1,о.е.}\)=L\(_{2,о.е.}=0.5 \cdot U_K/100\)% L\(_1\)=L\(_{1,о.е.}\cdot L_{б1}\), L\(_2\)=L\(_{2,о.е.}\cdot L_{б2}\) Активное сопротивление и индуктивность ветви намагничивания: R\(_{m,о.е.}\)=\(\frac{S_{ном}}{\Delta P_{X}}\), R\(_m\)=R\(_{m,о.е.}\cdot R_{б1}\) L\(_{m,о.е.}\)=100%/I\(_0\), L\(_m\)=L\(_{m,о.е.}\cdot L_{б1}\)

Потери мощности в опыте короткого замыкания, приведённые к обмоткам трёхобмоточного трансформатора: \(\Delta\)P\(_{K,B}\)=0.5\(\cdot\) (\(\Delta\)P\(_{K,B-Н}+\Delta\)P\(_{K,B-С}-\Delta\)P\(_{K,C-Н}\)) \(\Delta\)P\(_{K,С}\)=0.5\(\cdot\) (-\(\Delta\)P\(_{K,B-Н}+\Delta\)P\(_{K,B-С}+\Delta\)P\(_{K,C-Н}\)) \(\Delta\)P\(_{K,Н}\)=0.5\(\cdot\) (\(\Delta\)P\(_{K,B-Н}-\Delta\)P\(_{K,B-С}+\Delta\)P\(_{K,C-Н}\)) Напряжения в опыте короткого замыкания, приведённые к обмоткам трёхобмоточного трансформатора: U\(_{K,B}\)=0.5\(\cdot\) (U\(_{K,B-Н}+U_{K,B-С}-U_{K,C-Н}\)) U\(_{K,C}\)=0.5\(\cdot\) (-U\(_{K,B-Н}+U_{K,B-С}+U_{K,C-Н}\)) U\(_{K,Н}\)=0.5\(\cdot\) (U\(_{K,B-Н}-U_{K,B-С}+U_{K,C-Н}\)) Во всех моделях трёхобмоточных трансформаторов при задании параметров через каталожные параметры первичная обмотка соответствует обмотке высшего напряжения, вторичная - обмотке среднего напряжения, третичная - обмотке низшего напряжения. Сопротивления обмоток: R\(_{1,о.е.}=\frac{\Delta P_{К,В}}{S_{ном}}\) R\(_1\)=R\(_{1,о.е.}\cdot\)R\(_{б1}\) R\(_{2,о.е.}=\frac{\Delta P_{К,C}}{S_{ном}}\) R\(_2\)=R\(_{2,о.е.}\cdot\)R\(_{б2}\) R\(_{3,о.е.}=\frac{\Delta P_{К,Н}}{S_{ном}}\) R\(_3\)=R\(_{3,о.е.}\cdot\)R\(_{б3}\) Индуктивности обмоток: L\(_{1,о.е.}=U_{К,В}\)/100%, L\(_1\)=L\(_{1,о.е.}\cdot\) L\(_{б1}\) L\(_{2,о.е.}=U_{К,C}\)/100%, L\(_2\)=L\(_{2,о.е.}\cdot\) L\(_{б2}\) L\(_{3,о.е.}=U_{К,Н}\)/100%, L\(_3\)=L\(_{3,о.е.}\cdot\) L\(_{б3}\) Активное сопротивление и индуктивность ветви намагничивания: R\(_{m,о.е.}=\frac{S_{ном}}{\Delta P_X}\), R\(_m\)=R\(_{m,о.е.}\cdot\) R\(_{б1}\) L\(_{m,о.е.}\)=100%/I\(_0\), L\(_m\)=L\(_{m,о.е.}\cdot\) L\(_{б1}\)

2.2.  Трёхфазные трансформаторы

Трёхфазный трансформатор представляет собой соединение трёх однофазных трансформаторов, коэффициент трансформации каждого из которых определяется как отношение номинального вторичного фазного напряжения трансформатора к первичному фазному (10):

(10)\[K=\frac{U_{2номф}}{U_{1номф}}\]

Но, если обмотки трансформатора соединены по-разному, то номинальное напряжение одной из них может стать линейным, а другой фазным. Для учёта таких случаев необходимо вносить корректировки в расчёт коэффициента трансформации. Они представлены в таблице ниже. Под номинальными напряжениями в случае трёхфазных трансформаторов понимаются линейные, а не фазные.

Способ соединения обмоток (первичная-вторичная)	Коэффициент трансформации
Звезда-Звезда	K=\(\frac{U_{2ном Ф}}{U_{1ном Ф}}\)=\(\frac{U_{2ном}}{\sqrt {3}}\cdot \frac{\sqrt {3}}{U_{1ном}}=\frac{U_{2ном}}{U_{1ном}}\)
Звезда-Треугольник I	K=\(\frac{U_{2ном Ф}}{U_{1ном Ф}}\)=\(\frac{U_{2ном}}{\sqrt {3}}\cdot \frac{1}{U_{1ном}}=\frac{U_{2ном}}{\sqrt {3} \cdot U_{1ном}}\)
Звезда-Треугольник II	K=\(\frac{U_{2ном Ф}}{U_{1ном Ф}}\)=\(\frac{U_{2ном}}{\sqrt {3}}\cdot \frac{1}{U_{1ном}}=\frac{U_{2ном}}{\sqrt {3} \cdot U_{1ном}}\)
Треугольник I-Треугольник I	K=\(\frac{U_{2ном Ф}}{U_{1ном Ф}}\)=\(\frac{U_{2ном}}{U_{1ном}}\)
Треугольник I-Звезда	K=\(\frac{U_{2ном Ф}}{U_{1ном Ф}}\)=\(\frac{U_{2ном}}{1}\cdot \frac{\sqrt {3}}{U_{1ном}}=\frac{\sqrt {3}\cdot U_{2ном}}{U_{1ном}};\)
Треугольник I-Треугольник II	K=\(\frac{U_{2ном Ф}}{U_{1ном Ф}}\)=\(\frac{U_{2ном}}{U_{1ном}}\)
Треугольник II-Треугольник II	K=\(\frac{U_{2ном Ф}}{U_{1ном Ф}}\)=\(\frac{U_{2ном}}{U_{1ном}}\)
Треугольник II-Звезда	K=\(\frac{U_{2ном Ф}}{U_{1ном Ф}}\)=\(\frac{U_{2ном}}{1}\cdot \frac{\sqrt {3}}{U_{1ном}}=\frac{\sqrt {3}\cdot U_{2ном}}{U_{1ном}};\)
Треугольник II-Треугольник I	K=\(\frac{U_{2ном Ф}}{U_{1ном Ф}}\)=\(\frac{U_{2ном}}{U_{1ном}}\)

Базисные сопротивления и индуктивности обмоток каждой фазы (1 - обмотка высшего напряжения, 2 - обмотка среднего напряжения, 3 - обмотка низшего напряжения)(11):

\[R_{б1}=\frac{U_{1номф}^2}{S_{номф}}=\frac{U_{1ном}^2}{(\sqrt {3})^2}\cdot \frac{3}{S_{ном}}=\frac{U_{1ном}^2}{S_{ном}}, L_{б1}=\frac {R_{б1}}{2\cdot п\cdot f_{ном}} \]

\[R_{б2}=\frac{U_{2номф}^2}{S_{номф}}=\frac{U_{2ном}^2}{(\sqrt {3})^2}\cdot \frac{3}{S_{ном}}=\frac{U_{2ном}^2}{S_{ном}}, L_{б2}=\frac {R_{б2}}{2\cdot п\cdot f_{ном}} \]

(11)\[R_{б3}=\frac{U_{3номф}^2}{S_{номф}}=\frac{U_{3ном}^2}{(\sqrt {3})^2}\cdot \frac{3}{S_{ном}}=\frac{U_{3ном}^2}{S_{ном}}, L_{б3}=\frac {R_{б3}}{2\cdot п\cdot f_{ном}} \]

Формулы для расчёта параметров моделей двухобмоточных и трёхобмоточных трансформаторов аналогичны вышеприведённым для однофазных трансформаторов ввиду того, что напряжения в опытах короткого замыкания представляют собой фазные величины, а все мощности приведены суммарно для трёх фаз, из-за чего коэффициенты у всех мощностей (как потерь, так и полной) одинаковы и сокращают друг друга. Расчётные формулы приведены в таблице ниже.

Двухобмоточный трансформатор

Трёхобмоточный трансформатор

Сопротивления: R\(_{1,о.е.}\)=R\(_{2,о.е.}\)=0.5\( \cdot\frac{\Delta P_{K}}{S_{ном}}\) R\(_1\)=R\(_{1,о.е.}\cdot R_{б1}\), R\(_2\)=R\(_{2,о.е.}\cdot R_{б2} \) Индуктивности: L\(_{1,о.е.}\)=L\(_{2,о.е.}=0.5 \cdot U_K/100\)% L\(_1\)=L\(_{1,о.е.}\cdot L_{б1}\), L\(_2\)=L\(_{2,о.е.}\cdot L_{б2}\) Активное сопротивление и индуктивность ветви намагничивания: R\(_{m,о.е.}\)=\(\frac{S_{ном}}{\Delta P_{X}}\), R\(_m\)=R\(_{m,о.е.}\cdot R_{б1}\) L\(_{m,о.е.}\)=100%/I\(_0\), L\(_m\)=L\(_{m,о.е.}\cdot L_{б1}\)

Потери мощности в опыте короткого замыкания, приведённые к обмоткам трёхобмоточного трансформатора: \(\Delta\)P\(_{K,B}\)=0.5\(\cdot\) (\(\Delta\)P\(_{K,B-Н}+\Delta\)P\(_{K,B-С}-\Delta\)P\(_{K,C-Н}\)) \(\Delta\)P\(_{K,С}\)=0.5\(\cdot\) (-\(\Delta\)P\(_{K,B-Н}+\Delta\)P\(_{K,B-С}+\Delta\)P\(_{K,C-Н}\)) \(\Delta\)P\(_{K,Н}\)=0.5\(\cdot\) (\(\Delta\)P\(_{K,B-Н}-\Delta\)P\(_{K,B-С}+\Delta\)P\(_{K,C-Н}\)) Напряжения в опыте короткого замыкания, приведённые к обмоткам трёхобмоточного трансформатора: U\(_{K,B}\)=0.5\(\cdot\) (U\(_{K,B-Н}+U_{K,B-С}-U_{K,C-Н}\)) U\(_{K,C}\)=0.5\(\cdot\) (-U\(_{K,B-Н}+U_{K,B-С}+U_{K,C-Н}\)) U\(_{K,Н}\)=0.5\(\cdot\) (U\(_{K,B-Н}-U_{K,B-С}+U_{K,C-Н}\)) Во всех моделях трёхобмоточных трансформаторов при задании параметров через каталожные параметры первичная обмотка соответствует обмотке высшего напряжения, вторичная - обмотке среднего напряжения, третичная - обмотке низшего напряжения. Сопротивления обмоток: R\(_{1,о.е.}=\frac{\Delta P_{К,В}}{S_{ном}}\) R\(_1\)=R\(_{1,о.е.}\cdot\)R\(_{б1}\) R\(_{2,о.е.}=\frac{\Delta P_{К,C}}{S_{ном}}\) R\(_2\)=R\(_{2,о.е.}\cdot\)R\(_{б2}\) R\(_{3,о.е.}=\frac{\Delta P_{К,Н}}{S_{ном}}\) R\(_3\)=R\(_{3,о.е.}\cdot\)R\(_{б3}\) Индуктивности обмоток: L\(_{1,о.е.}=U_{К,В}\)/100%, L\(_1\)=L\(_{1,о.е.}\cdot\) L\(_{б1}\) L\(_{2,о.е.}=U_{К,C}\)/100%, L\(_2\)=L\(_{2,о.е.}\cdot\) L\(_{б2}\) L\(_{3,о.е.}=U_{К,Н}\)/100%, L\(_3\)=L\(_{3,о.е.}\cdot\) L\(_{б3}\) Активное сопротивление и индуктивность ветви намагничивания: R\(_{m,о.е.}=\frac{S_{ном}}{\Delta P_X}\), R\(_m\)=R\(_{m,о.е.}\cdot\) R\(_{б1}\) L\(_{m,о.е.}\)=100%/I\(_0\), L\(_m\)=L\(_{m,о.е.}\cdot\) L\(_{б1}\)

3.  Источники

---

[1] (1,2)

Новаш И. В., Румянцев Ю. В. Расчет параметров модели трехфазного трансформатора из библиотеки MatLab-Simulink с учетом насыщения магнитопровода // Энергетика. Известия высших учебных заведений и энергетических объединений СНГ. 2015. №1. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/raschet-parametrov-modeli-trehfaznogo-transformatora-iz-biblioteki-matlab-simulink-s-uchetom-nasyscheniya-magnitoprovoda (дата обращения: 14.08.2024).

[2]

Идельчик В.И. Электрические системы и сети: Учебник для вузов. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 592 с.: ил.